O confruntare a spațiilor de stări între o grilă plată de doiuri și un cub construit în întregime din treiuri.
Scris și editat în limba engleză. Această versiune în română a fost produsă prin traducere automată; acolo unde precizia contează, originalul în engleză este autoritatea. Citiți originalul în engleză →
Ambele jocuri sunt puzzle-uri cu numere glisante. În 2048 împingeți o grilă 4×4 de șaisprezece celule într-una din patru direcții; plăcile egale se ciocnesc și se dublează, urcând pe scara puterilor lui doi. În 3927 împingeți un cub 3×3×3 de douăzeci și șapte de celule într-una din șase direcții; trei blocuri egale se ciocnesc și se triplează, urcând pe scara puterilor lui trei, 3, 9, 27, chiar cifrele din nume. 1 A întreba care este mai greu înseamnă, de fapt, a întreba care joc ascunde oceanul mai mare de poziții posibile. Așadar, să încercăm să măsurăm apa.
Mărimea brută a unei table crește ca (simboluri pe celulă)cells. Numărul de celule stă în exponent, acolo unde se află toată pârghia. 2048 oferă șaisprezece celule; 3927 oferă douăzeci și șapte. Țineți fix alfabetul pe celulă, iar cubul este deja mai mare cu un factor de aproximativ a27−16 = a11; cu un alfabet de zece simboluri, doar asta înseamnă de o sută de miliarde de ori mai multe stări, înainte de a lua în calcul orice altceva. Dimensiunea suplimentară, nu aritmetica în baza 3, este adevăratul motor.
Fiecare celulă este fie goală, fie conține o singură valoare de placă. Pentru 2048 plafonat la placa 256, o celulă rostește unul din nouă simboluri: gol, plus {2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256}. O limită superioară publicată, construită exact din acest alfabet, estimează tabla 4×4 la aproximativ 5,63 × 1014 poziții, iar autorii recunosc deschis că acest plafon include table ilegale, care nu pot apărea niciodată în realitate. 2 Dați-i lui 3927 o adâncime comparabilă, gol plus {3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187}, adică opt simboluri, iar plafonul său brut este 827 ≈ 2,4 × 1024. Baza 3 îi aduce lui 3927 mai puține simboluri pe celulă decât i-ar aduce baza 2; cele unsprezece celule în plus îi dau înapoi cerul întreg.
Coborâți scările de valori puțin mai adânc, iar plafonul lui 3927 îl depășește pe cel al lui 2048 de undeva între un miliard și o sută de miliarde de ori. Cubul câștigă la exponent.
Nimeni nu a enumerat stările accesibile ale lui 2048 la dimensiune completă, cu atât mai puțin pe ale lui 3927. Dar cercetătorii au rezolvat exhaustiv table micșorate de 2048, iar acele cifre exacte ne ancorează estimările. O tablă 3×3 de 2048 are 48.713.519 stări accesibile; extinsă la 4×3, numărătoarea sare peste o mie de miliarde, la 1.152.817.492.752 de stări, cu 739.648.886.170 de poziții distincte de după mutare. 3 Fiecare celulă adăugată înmulțește lumea. Extrapolați această curbă la 27 de celule și niciun tabel onest nu mai poate tipări un singur număr.
| Proprietate | 2048 | 3927 |
|---|---|---|
| Tablă | 4×4 plată | cub 3×3×3 |
| Celule | 16 | 27 |
| Baza de numerație | 2 | 3 |
| Regula de fuziune | 2 la fel → dublare | 3 la fel → triplare |
| Direcții de deplasare | 4 | 6 |
| Simboluri / celulă (adâncime echivalentă) | 9 | 8 |
| Plafon brut (incl. ilegale) | ~1.9 × 10¹⁵ | ~2.4 × 10²⁴ |
| Limită superioară rafinată citată | 5.63 × 10¹⁴ | niciuna publicată |
| Numărătoare exactă, subtablă 4×3 | 1.15 × 10¹² | , |
Fiecare număr mare de aici este o limită superioară sau o estimare a ordinului de mărime, niciodată un recensământ. Plafoanele numără table pe care jocul legal nu le poate atinge niciodată, de pildă o tablă cu o singură placă izolată (ambele jocuri încep cu două plăci, și adaugă una nouă după fiecare mutare, așa că nicio tablă nu ajunge vreodată la o singură placă), sau valori pe care nicio secvență de fuziuni nu le poate produce. Cifrele pentru 2048 provin din lucrări evaluate de colegi; cifrele pentru 3927 sunt propriile mele plafoane calculate din burtă, obținute în același mod, și trebuie citite ca „nu mai mare decât atât, probabil mult mai puțin”. Regulile ambelor jocuri sunt preluate din documentele de proiectare ale jocului, nu presupuse.
Mărimea spațiului de stări este harta; factorul de ramificare este viteza cu care o parcurgeți. La fiecare tură jucătorul alege o direcție, până la patru în 2048 și până la șase în 3927, așa că cubul oferă cu cincizeci la sută mai multe alegeri reale pe mutare. Apoi intervine hazardul: jocul aruncă o placă nouă într-o celulă goală aleatorie. 2048 generează un 2 sau un 4, adică aproximativ două rezultate pe fiecare celulă liberă, în până la cincisprezece celule goale; 3927 generează întotdeauna un singur 3, dar în până la douăzeci și șase de celule goale. 1 Înmulțiți decizia cu hazardul, iar arborele de joc al lui 3927 se lărgește mai mult la fiecare semimutare și, pentru că fuziunile de câte trei sunt mai rare decât cele de câte două, partidele sale tind să dureze mai mult, adâncind arborele pe lângă faptul că îl lărgesc.
„Mai greu” pentru un om este o chestiune de senzație, iar 2048 nu este deloc ușor de învins: a decide dacă o poziție arbitrară poate ajunge la o anumită placă-țintă este, demonstrabil, o problemă NP-dificilă pe o tablă generală. 4 Dar ca obiect combinatoric, 3927 este animalul mai mare, cu o marjă largă și onestă: mai multe celule în exponent, mai multe direcții în ramificare, partide mai lungi în adâncime. Aritmetica în baza 3 care îi dă numele este aproape o pistă falsă. Dificultatea nu a stat niciodată în treiuri. A stat în a treia dimensiune.
Method: per-cell alphabet counts and the ceilings 916 and 827 are elementary combinatorics on matched value-ladder depths; the 2048 refined bound and exact sub-board counts are quoted from the cited papers. All 3927 figures are the author's estimates computed by the same recipe and are upper bounds, not enumerations. Where the two games' possibility spaces are compared, ratios are stated as ranges to reflect that uncertainty.