Două jocuri de fuziune, o singură întrebare: poate fi vreunul jucat fără greș? Răspunsul trece printr-un colț de tablă, printr-un adversar care nu apare niciodată și printr-un număr înalt de șaptesprezece exponenți.
Scris și editat în limba engleză. Această versiune în română a fost produsă prin traducere automată; acolo unde precizia contează, originalul în engleză este autoritatea. Citiți originalul în engleză →
Să începem cu jocul pe care îl cunoaște toată lumea. 2048, patru direcții, o grilă 4×4, plăci care se dublează când se ating, este, strict vorbind, nerezolvat. Nimeni nu a scris un algoritm care să-l joace perfect. Ce avem sunt aproximări foarte puternice. O căutare expectimax, care privește cu vreo opt mutări înainte și notează fiecare tablă după o mână de euristici reglate manual (celule libere, plăci mari fixate pe o margine, netezime), ajunge la placa 32768 în mai mult de o treime din partide, 1 iar cel mai puternic motor public atinge placa 65536 în câteva procente din cazuri. 2 Generalizat la o tablă m×n, simpla decizie dacă o placă-țintă poate fi atinsă este NP-dificilă. 3 Puternic nu este același lucru cu rezolvat.
Cât de sus poate urca o singură placă? Pe șaisprezece celule, răspunsul este o mică și elegantă bucată de numărare. Așezați tabla ca pe o scară descendentă, 65536, 32768, 16384 și tot așa în jos, până la un 2 solitar. Fiecare placă este cu exact o putere a lui doi sub vecina ei, așa că cele șaisprezece puteri distincte, de la 21 la 216, umplu tabla perfect, iar 65536 = 216 stă în vârf: un exponent pe celulă. Acesta este plafonul dacă jocul vă dă vreodată doar plăci de 2. Dar 2048 generează un 4 o dată din zece, iar un singur 4 venit la momentul potrivit strecoară un al șaptesprezecelea exponent, ridicând maximul real la 131072 = 217, puterile a șaptesprezece plăci împachetate în șaisprezece pătrate. 4 Niciun om nu a construit-o; câteva AI-uri au atins-o în treacăt.
De ce răsplătesc aceste table ascunderea celei mai mari plăci într-un colț? O placă din mijloc poate fi împinsă în patru direcții și este mereu despărțită de plăcile cu care vrea să se unească. O placă din colț atinge doi pereți; împingerile spre pereții de care este deja lipită nu o pot mișca, iar cât timp evitați să împingeți în direcția opusă lor, stă pe loc în timp ce totul se organizează în jurul ei. Înlănțuiți restul într-un șarpe monoton, cu valoarea cea mai mare în colț, pliat înainte și înapoi în ordine descrescătoare, și o singură glisare poate declanșa o cascadă de fuziuni. 1 Aceasta este euristica ce domină jocul uman ocazional și este aproape exact ceea ce redescoperă AI-urile când le lăsați să-și regleze singure ponderile.
Un joc de fuziune cu generări aleatorii nu are adversar, ci doar vreme. A-l „rezolva” înseamnă a învinge zarurile în medie, nu a învinge o minte.
Acum înclinați tabla în trei dimensiuni. 3927 este vărul cubic al lui 2048: o rețea 3×3×3 de 27 de celule, șase direcții de deplasare în loc de patru și plăci care fuzionează câte trei, 3 în 9, în 27, în 81, în baza trei acolo unde 2048 este în baza doi. 5 Supraviețuiește stivuirea în colț dimensiunii suplimentare? Un cub are opt colțuri, iar o celulă de colț atinge acum trei fețe în loc de două; ar trebui să fie și mai stabilă, fixată de trei pereți deodată, deși cele șase direcții îi dau tablei mai multe feluri de a vă scutura structura din loc. Șarpele devine un traseu pliat care străbate toate cele trei straturi. Din câte am putut găsi, nimeni nu a stabilit dacă analogia chiar se menține; acesta este un raționament, nu o măsurătoare.
Și plafonul? Regula unui exponent pe celulă ar sugera 327 ≈ 7,6 mii de miliarde ca limită superioară largă. Dar analogia se destramă serios. Exponentul suplimentar al lui 2048 venea dintr-un 4 norocos; 3927 generează întotdeauna doar cea mai mică placă, un simplu 3, așa că nu există niciun bonus. Mai rău, o fuziune triplă cere trei plăci aliniate pe o linie, iar fiecare rând, coloană și stâlp dintr-un cub 3×3×3 are exact trei celule, așa că fiecare fuziune consumă o linie întreagă. Această constrângere mușcă mult mai tare decât orice din jocul plat și aproape sigur trage maximul real mult sub 327. Care este acest număr real, nu am găsit calculat nicăieri. (Raționament marcat clar ca atare; mecanica de mai sus este preluată din documentele de proiectare ale jocului.)
Iată subtilitatea care face ca „jocul perfect” să fie alunecos. Un joc de fuziune cu generări aleatorii este un joc stocastic cu un singur jucător, o pasiență jucată împotriva unui zar, nu un duel. Nimic nu alege cea mai proastă generare ca să vă ruineze; există doar generatorul de numere aleatorii, indiferent. Așadar, noțiunea corectă de joc optim este expectimax: maximizarea rezultatului așteptat pe distribuția generărilor. Categoric nu este minimax: minimax presupune un adversar, iar dacă lăsați chiar un adversar să plaseze fiecare placă („evil 2048”, adică 2048 malefic), jocul devine ceva mai crud, pe care puteți fi forțat să-l pierdeți. Pentru că zarurile pot, în principiu, să dea orice secvență, o strategie care să garanteze o anumită placă s-ar putea pur și simplu să nu existe. Așadar, răspunsul onest la întrebarea „există o strategie perfectă?” este că, pentru un joc stocastic, tot ce se poate defini este o strategie cea mai bună în medie, iar calcularea ei exactă este inaccesibilă pentru 2048 6 și complet deschisă pentru 3927.