Eficiența ascunsă a bazei trei și întrebarea dacă un joc clădit pe ea este, în liniște, mașinăria mai elegantă.
Scris și editat în limba engleză. Această versiune în română a fost produsă prin traducere automată; acolo unde precizia contează, originalul în engleză este autoritatea. Citiți originalul în engleză →
3927 este 2048 reconstruit în trei dimensiuni și într-o altă aritmetică. Tabla este un cub 3×3×3, cu douăzeci și șapte de celule, iar dumneavoastră împingeți întregul cub în oricare dintre cele șase direcții. Când se ciocnesc trei plăci de aceeași valoare, ele nu se dublează, ci se triplează. Un trei devine nouă, un nouă devine douăzeci și șapte și tot așa: 81, 243, 729. Numele însuși numără primele trei plăci, 3·9·27, iar totul în acest design este trei, până la capăt: trei pe fiecare axă, trei la o fuziune, trei ca factor de creștere. 4
Strămoșul său este încăpățânat de binar. Clasicul 2048 lucrează cu puteri ale lui doi, 2, 4, 8, 16…, și unește plăcile câte două. Doi este numărul aruncării cu banul, al tranzistorului, al bitului. Așadar, întrebarea firească pe care o pune un jucător curios este dacă înlocuirea lui doi cu trei este o simplă noutate sau dacă trei ascundea de la bun început un avantaj real. Se dovedește că matematica are o părere, iar părerea este surprinzător de fermă.
Imaginați-vă că trebuie să construiți o mașină care stochează numere. Fiecare poziție de cifră vă costă ceva, o roată, un fir, un tub, iar acest cost crește odată cu baza, pentru că o cifră în baza b are nevoie de b stări distincte. Dar o bază mai mare înseamnă și că aveți nevoie de mai puține cifre pentru a ajunge la un număr dat. Există aici o tensiune și ea are un nume: economia bazei (radix economy).
Formal, economia reprezentării unui număr N în baza b este baza înmulțită cu numărul de cifre, E(b,N) = b ⌊log_b N + 1⌋. 1 O bază mare vă aduce numere scurte, dar cifre scumpe; o bază mică este ieftină pe cifră, dar se întinde. Undeva între cele două extreme se află un punct optim, iar acesta nu este locul în care a ajuns cea mai mare parte a tehnologiei noastre.
| Baza | b ÷ ln b | față de optim |
|---|---|---|
| 2 | 2.885 | +6.2% |
| 3 | 2.731 | +0.5% |
| e ≈ 2.718 | 2.718 | optim |
| 10 | 4.343 | +59.8% |
Pentru N mare, economia se comportă ca (b ÷ ln b) · ln N, așa că eficiența unei baze depinde în întregime de factorul b ÷ ln b. Minimizați-l cu puțin calcul diferențial, iar răspunsul este exact și ciudat: cea mai economică bază dintre toate este e, aproximativ 2,71828. 1 Desigur, nu puteți construi un calculator cu 2,718 stări pe cifră. Dar puteți întreba ce număr întreg se află cel mai aproape de acest ideal, iar câștigătorul, care îi întrece atât pe doi, cât și pe zece, este trei.
Diferența nu este academică. Baza trei ajunge la mai puțin de o jumătate de procent de optimul teoretic, în timp ce binarul plătește un supliment de șase procente, iar zecimalul unul zdrobitor, de șaizeci. Un mod concret de a o simți: pentru a scrie toate numerele de la 0 la 999.999, binarul are nevoie de 20 de cifre, zecimalul de 6, dar ternarul doar de 13, iar 13×3 dă un total mai mic decât 20×2. 1 Trei împachetează cu adevărat mai multă numărare în mai puțină structură.
Natura a fost rugată să numească cel mai eficient mod de a număra și a răspuns cu un număr irațional. Cel mai apropiat număr întreg de acest răspuns este trei.
Aceasta nu este doar o curiozitate de manual. În 1958, la Universitatea de Stat din Moscova, o echipă condusă de Nikolai Brusențov și de matematicianul Serghei Sobolev a construit Setun, cel mai faimos calculator ternar realizat vreodată. 3 În timp ce Occidentul se angaja față de biți, Setun număra în triți și folosea o schemă deosebit de frumoasă: ternarul echilibrat, ale cărui trei valori ale cifrelor nu sunt 0, 1, 2, ci −1, 0, +1. 2
Simetria se răsplătește imediat. Un număr își poartă propriul semn, fără bit de semn separat, fără contorsiunile complementului față de doi, iar pentru a nega orice valoare pur și simplu inversați fiecare cifră. Rotunjirea și trunchierea devin aceeași operație. Donald Knuth l-a considerat „poate cel mai frumos sistem de numerație dintre toate”. 2 Brusențov, lipsit de tranzistori, a obținut trei stări stabile din perechi de miezuri de ferită; au fost construite aproximativ cincizeci de calculatoare Setun, majoritatea trimise pentru predarea matematicii în universitățile sovietice. 3 Mașina funcționa, era ieftină și se afla, discret, înaintea vecinilor ei.
Aici un autor atent trebuie să se abțină. Economia bazei este o afirmație despre stocarea și procesarea numerelor în anumite ipoteze de cost, iar chiar și matematicienii observă că aceste ipoteze sunt doar aproximative; o socoteală mai completă justifică adesea din nou binarul, motiv pentru care lumea funcționează pe el. 1 Un puzzle de fuziune nu este o bancă de memorie; nimeni nu minimizează numărul de tuburi într-o pauză de cafea. Așadar, 3927 nu este „mai eficient” în vreun sens ingineresc care să conteze, iar a spune asta ar fi o înșelătorie.
Și totuși. Jocul moștenește ceva adevărat. Creșterea prin triplare ajunge la numere mari în mai puține mutări, dar cu mai multe consecințe; fiecare fuziune face mai multă muncă, iar un cub 3×3×3 este cea mai mică tablă care îi permite fuziunii câte trei să respire în toate direcțiile. 4 Designul nu a dat din întâmplare peste trei, ci a aterizat pe numărul întreg pe care matematica numărării l-a preferat în liniște încă din zorii calculului electronic, cel pe care inginerii Setun l-au ales intenționat. Doi este numărul la care am ajuns din inerție. Trei este numărul pe care l-am fi ales dacă eficiența, și nu aruncarea cu banul, ar fi avut ultimul cuvânt. Faptul că plăcile se întâmplă să formeze 3, 9, 27 este o mică glumă pe care universul o spunea deja.
Game facts, the 3×3×3 board, six shift directions, three-tile ×3 merge, and the 3·9·27 naming, are measured from the game's design documents. Mathematical and historical claims are drawn from the references below.